Summary

Studied is the stress condition of layered rock foundations. The following assumptions are made: 1) within a layer the rock mass can be regarded as a homogeneous transversely isotropic elastic medium; 2) the plane of isotropy is parallel to the foundation boundary; 3) layers of constant thickness are firmly connected together along the boundaries; 4) a given load is applied to the foundation surface; 5) the thickness of layers is small. The proble’m is formulated as interpolation of the mathematical theory of elasticity; a three-dimensional deformation of the rock foundation is discussed. The values of stresses and those of displacements on the layer boundaries (in the interpolation nodes) are sought.

Differential equations are derived for defining the functions sought for.

The method of integral transformations is employed for the solution of the above system. A calculation example is adduced. For alternating thin layers design formulae are obtained.

The problems dealt with in the paper arise in connection with the design of structures erected on rock foundations as well as in studies of physico-mechanical properties of rock masses. In a number of cases a layered elastic half-space is taken as a computational model for a rock foundation, and the equilibrium problem of the foundation is being solved by the methods of the mathematical theory of elasticity. Three-dimensional deformation of a layered elastic half-space is discussed in [1], [2], [3], [4] et al.

Great difficulties are experienced in practical application of exact solutions. Approximate solutions are proposed in the paper designed to simplify descretization of calculation procedure and development of analytical relations for a layered foundation of a regular structure.

1 — Formulation of the Problem

A multi-layered foundation is given composed of a finite or an infinite number of layers of constant thickness within each layer (Fig. 1). An elastic half-space may be considered as one of the layers. The following assumptions are made: 1) within a layer the rock mass is regarded as a homogeneous transversaly isotropic elastic medium; 2) the plane of isotropy is parallel to the foundation boundary; 3) the layers are firmly connected together along the boundaries; 4) the load applied to the boundary of a half-space may be represented in the form of the integrals of Fourier or Fourier-Bessel.

Résumé

L’état de contraintes des fondations rocheuses stratifiées est étudié en supposition que: 1) dans les limites de chaque couche le massif rocheux peut être considéré comme un milieu élastique homogène transversalement isotrope: 2) le plan de l’isotropie est parallèle à la limite de la fondation; 3) les couches à épaisseur constante sont étroitement liées aux limites; 4) la charge donnée est appliquée à la surface de la fondation; 5) la hauteur des couches est faible.

Le problème est posé comme celui d’interpolation de la théorie de l’élasticité mathématique. Une déformation tridimensionnelle de la fondation est examinée. On prend pour les inconnues les valeurs des contraintes et des déplacements aux limites des couches (dans les noeuds d’interpolation).

L’auteur a obtenu des équations différentielles reliant les fonctions recherchées.

Pour la résolution du système en question on emploie la méthode des transformations intégrales.

Un exemple de calcul est décrit. A alternance régulière des couches minces on peut obtenir les formules de calcul.

Zusammenfassung

Im Bericht wird ein Spannungszustand von geschichteten Felsuntergründen untersucht. Es empfiehlt sich: 1) in den Grenzen jeder Schicht kann ein Felsmassiv als ein homogenes, transversal isotropes elastisches Medium betrachtet werden; 2) eine isotrope Ebene ist einer Grenze des Untergrundes parallel; 3) die Schichten der konstanten Dicke sind an den Grenzen fest verbunden; 4) an die Fläche des Fundamentes ist eine angegebene Belastung angelegt; 5) die Dicke der Schichten ist klein. Die Aufgabe wird als Interpolationsaufgabe der mathematischen Elastizitätslehre gestellt, es wird eine räumliche Dehnung des Felsfundamentes betrachtet. Als Unbekannte werden die Spannungswerte und Verschiebungsgrößen an den Grenzen der Schichten (in den Knotenpunkten der Interpolation) angenommen. Die Differentialgleichungen werden ermittelt, die die gesuchten Funktionen verbinden. Für die Lösung des genannten Systems wird eine Methode der Intergrationsumformung angewendet. Ein Beispiel der Berechnung wird angeführt. Bei der regelmässigen wechselnden Folge der dünnen Schichten wird die Lösung mittels der Zusammenstellung von Berechnungsformeln herbei geführt.

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